Sens de variation d'une suite géométrique

Déterminer le sens de variation des suites géométriques positives suivantes :

1. Pour tout entier naturel \(n\) , `u_{n+1}=7u_n` .

2. Pour tout entier naturel \(n\) , \(u_{n+1}=\dfrac{13}{14}u_n\) .

3.  `(u_n)` est telle que \(u_{12}>u_3\) .

4.  \((u_n)\) est telle que \(4u_8-3u_{10}<0\) .

5. \(u_3\neq u_4\) et pour tout entier `n>4` , \(u_n>10\) .

Solution

1. La raison de la suite est égale à `7>1` , donc la suite est strictement croissante.

2. La raison de la suite est égale à \(\dfrac{13}{14}<1\) , donc la suite est strictement décroissante.

3.  \(u_{12}>u_3\) ,  la suite est donc strictement croissante.

4. \(u_8<\dfrac{3}{4}u_{10}\)  mais \(\dfrac{3}{4}<1\) et \(u_{10}>0\) , donc  \(u_8.

La suite est donc strictement croissante.

5. \(u_3\neq u_4\) donc la suite n'est pas constante.

Si la suite était décroissante, il serait possible de déterminer un seuil à partir duquel `u_n<9,` ce qui est absurde. Donc la suite est strictement croissante.